Доказать монотонность последовательности начиная с некоторого номера

Доказать монотонность последовательности начиная с некоторого номера

"Моното́нная фу́нкция — это функция, которая всё время либо возрастает, либо убывает"

все алгебраические (не трансцендентные) функции "монотонны с некоторого номера" 🙂 Вопрос лишь с какого

потому я вообще не понял зачем всё это решение. Оно имеет смысл только если кроме самого факта монотонности надо узнать ещё что либо. Но тогда я бы решал её, вероятно, совсем иначе. И решение зависело бы от необходимого результата.

Давайте повторим это определение, используя в большей степени русский язык. Предел числовой последовательности существует и равен некоторому числу, если, начиная с некоторого номера, все члены

Определение 1. Числовая последовательность (1) называется монотонной, если для каждого натурального выполнено одно из четырех условий: (2), (3), (4), (5). В случае выполнения условия (2) последовательность (1) называется монотонно возрастающей. В случае выполнения условия (3) последовательность (1) называется монотонно убывающей. В случае выполнения условия (4) последовательность (1) называется монотонно неубывающей. В случае выполнения условия (5) последовательность (1) называется монотонно невозрастающей.

Теорема 1. Монотонная и ограниченная числовая последовательность имеет предел.

Доказательство. Достаточно доказать, что монотонно неубывающая последовательность (1) имеет предел. В самом деле, во-первых, возрастающая последовательность является частным случаем неубывающей последовательности. Во-вторых, если поменять знаки последовательности, то она из убывающей превратится в возрастающую.

Итак, пусть для последовательности (1) выполнено условие (4) и последовательность (1) ограничена. Но ведь ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань, допустим – это число , для которого все . Докажем, что в таком случае . Будем действовать в соответствии с определением предела числовой последовательности. Пусть задано число , тогда число не является верхней гранью множества членов последовательности (1). Следовательно, существует номер такое что . Но тогда, в силу монотонности, при условии также . С учетом соотношения для этих членов числовой последовательности выполнено условие . А это и означает, что . Теорема доказана.

Читайте также:  В каких точках функция не дифференцируема

Бином Ньютона

Мы знаем, что , и т. д. Формула бинома Ньютона обобщает эти правила на случай произвольной степени.

Теорема 2. Справедлива формула бинома Ньютона , (6) где .

Доказательство. Теорема будет доказана методом математической индукции. Что такое метод математической индукции? Если утверждение надо доказать для всех натуральных значений параметра , то для этого достаточно доказать это утверждение для и затем доказать, что из справедливости утверждения для следует справедливость этого утверждения для .

Проверим справедливость формулы (6) при . Действительно, , т. к. (проверьте) .

Пусть формула (6) справедлива при , т. е. . Вычислим . Последнее произведение представляется в виде и при этом . С другой стороны, для проверки индуктивного предположения надо доказать, что . Следовательно, для завершения доказательства теоремы Ньютона надо установить справедливость соотношения . Действительно, . Теорема доказана.

Кстати, величина называется числом сочетаний из по и показывает, сколькими способами можно выбрать предметов из предметов.

Число e

Рассмотрим числовую последовательность , (7).

Теорема 3. Для членов числовой последовательности (7) справедливы соотношения: , .

Доказательство. Для величины применим формулу бинома Ньютона. Следовательно, и отсюда . Мы видим, что с ростом каждое слагаемое в последней записи и число слагаемых увеличиваются. Следовательно, . Для доказательства второй части теоремы заметим, что . Теорема доказана.

Итак, числовая последовательность (7) является монотонно возрастающей, ограниченной сверху последовательностью. Следовательно, она имеет предел. Этот предел является важной мировой константой, является трансцендентным числом и имеет специальное название.

Определение 2. Предел числовой последовательности (7) называется числом e.

Итак, по определению . (8)

| следующая лекция ==>
Монотонные последовательности, число e | Теорема Больцано-Вейерштрасса

Дата добавления: 2019-07-26 ; просмотров: 193 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Докажите, что данная последовательность монотонна, начиная с некоторого номера $$-n >$$

задан 21 Сен ’14 19:06

Uchenitsa
1.3k ● 20 ● 81
97&#037 принятых

Читайте также:  Интервалы монотонности и точки экстремума тест

2 ответа

Эта последовательность возрастает при всех $%nge1$%. Удобно сменить знак и показать, что члены последовательности $%-x_n=n-sqrt[3]$% монотонно убывают. Для этого можно применить тождество $%a-b=frac$%. В рассматриваемом случае это даст $%frac1+sqrt[3]^2>$%, где знаменатель положителен и монотонно возрастает, откуда всё следует. Также можно заметить, что эта последовательность монотонно стремится к нулю.

отвечен 21 Сен ’14 19:15

falcao
248k ● 2 ● 35 ● 48

отвечен 21 Сен ’14 19:42

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Ссылка на основную публикацию
Logitech deluxe 250 keyboard драйвер
Ниже показаны совместимые с ОС Windows 7 драйвера для Logitech Deluxe 250 USB Keyboard. Каждый драйвер клавиатуры Logitech Deluxe 250...
Adblock detector