Интервалы монотонности и точки экстремума тест

Интервалы монотонности и точки экстремума тест

Исследование функции с помощью производной

Определение : Точка х называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х выполняется неравенство: f(x) .
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной

  1. Найти производную функции f′(x) .
  2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
  3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . Если на промежутке f′(x) , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0 , то на этом промежутке функция возрастает.
  4. Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
  5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1 : Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x 3 –3x 2 .
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x 2 –6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x 2 –6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

x (-∞, 0) (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x) + +
f(x) возрастает max убывает min возрастает

f(0) = 0 3 – 3*0 2 = 0
f(2) = 2 3 – 3*2 2 = -4
Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной

  1. Найти производную f′(x) .
  2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0 .
  3. Найти вторую производную f″(x) .
  4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
  5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f"(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

Читайте также:  Как активировать смарт для своих мтс

Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

Пример №2 . Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x 2 – 2x — 3.
Решение: Находим производную: f′(x) = 2x — 2.
Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.
Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на отрезке [a; b], если для любых ина этом отрезке верно неравенствоf(x1) f(x2)), когда х1х2.

Теорема 2 (необходимые условия экстремума). Если x – точка экстремума функции, то либо производная в этой точке не суще- ствует, либо f (x) = 0.

Обратное утверждение неверно.

Точки, в которых производная равна 0, называются стационарными. Точки, в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими.

Теорема 3 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y = f(x) непрерывна в точке x и дифференцируема в некоторой ее окрестности (кроме, быть может, самой точки x). Если при переходе через точку x производная f (x) меняет знак с плюса на минус, то x – точка максимума. Если же производная f (x) меняет знак с минуса на плюс, то – точка минимума.

Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой, причем

Находим критические точки:

1)

2) – не существует; таких точек нет.

Следовательно, получаем картину знаков производной, представленную на рисунке 32.

Итак, функция f(x)убывает на промежутке [1; 5] и возрастает на промежутках (–; 1) и (5; +).

Точка х = 1 является точкой максимума, х = 5 – точкой минимума.

Тест 3. Функция f(x)убывает на интервале:

Тест 4. Если в некотором промежутке производная данной функции y = f(x) положительна, т. е. то функция в этом промежутке:

2) имеет минимум;

5) имеет максимум.

Тест 5. Точкой экстремума функции y = 4x 2 + 5 является точка:

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции y = f(x) называется выпуклым (выпуклым вверх) на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рисунок 33).

График дифференцируемой функции y = f(x) называется вогнутым (выпуклым вниз) на интервале (a; b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рисунок 34).

Точки, в которых вторая производная функции y = f(x) равна нулю или бесконечности либо вовсе не существует, называются критическими точками второго рода. Эти точки лежат внутри области определения данной функции.

Читайте также:  Схема материнской платы asus m2n

Точка M(x; f(x)), отделяющая выпуклую часть непрерывной функции от вогнутой или наоборот, называется точкой перегиба (рисунок 35).

Точки перегиба функции находятся среди критических точек второго рода.

Заметим, что график функции пересекает касательную в точке перегиба и переходит с одной ее стороны на другую.

Теорема 5 (необходимое условие точки перегиба). Если х – точка перегиба графика функции y = f(x), то либо вторая производная в этой точке не существует, либо

Теорема 6 (достаточное условие точки перегиба). Если при переходе через критическую точку x вторая производная меняет знак, то точка M(x; f(x)) есть точка перегиба функции y = f(x). Если же знака не меняет, то точка M(x; f(x)) точкой перегиба не является.

Пример 4. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции

Функция определена и дважды дифференцируема приx Î R

у

Находим точки, в которых вторая производная обращается в ноль или не существует:

1) у = 0 

2) у– не существует; таких точек нет.

Функция выпукла на промежутке вогнута на промежутке

Точка – точка перегиба;(рисунок 36).

Тест 6. Кривая y = f(x) выпукла вниз на интервале (a; b), если во всех точках этого интервала выполняется соотношение:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 7. Точка перегиба функции y = x 5 – x + 5 равна:

Вопросы к параграфам 29-30 (Уравнение касательной к графику функции, Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

Список вопросов теста

Вопрос 1

Расставьте в правильном порядке действия для составления уравнения касательной к графику функции

Варианты ответов
  • Обозначить абсциссу точки касания буквой а.
  • Вычислить значение функции в точке а.
  • Найти производную функции.
  • Найти значение производной функции в точке а.
  • Подставить найденные числа в формулу уравнения касательной к графику функции.
Вопрос 2

Вставьте пропущенное слово: "Если функция возрастает на промежутке и имеет на нём производную, то производная ___________".

Вопрос 3

Вставьте пропущенное слово: "Если функция убывает на промежутке и имеет на нём производную, то производная ___________".

Вопрос 4

Вставьте пропущенное слово: "Если во всех точках открытого промежутка Х значение производной функции в какой-либо точке из этого промежутка больше или равно 0 (причем равенство 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция __________ на промежутке Х."

Вопрос 5

Вставьте пропущенное слово: "Если во всех точках открытого промежутка Х значение производной функции в какой-либо точке из этого промежутка меньше или равно 0 (причем равенство 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция __________ на промежутке Х."

Читайте также:  Как установить игры на linux
Вопрос 6

Вставьте пропущенное слово: "Если во всех точках открытого промежутка Х значение производной функции в какой-либо точке из этого промежутка равно 0, то функция __________ на промежутке Х."

Вопрос 7

Вставьте пропущенное слово: "Точку х=х называют точкой ________ функции, если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой значение функции в точке х больше или равно значению функции в точке х."

Вопрос 8

Вставьте пропущенное слово: "Точку х=х называют точкой ________ функции, если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой значение функции в точке х меньше или равно значению функции в точке х."

Вопрос 9

Вставьте пропущенное слово: "Точки минимума и максимума функции объединяют общим термином — точки ____________"

Вопрос 10

Продолжи теорему: "Если функция имеет экстремум в точке х=х0, то в этой точке производная функции _______________."

Вопрос 11

Вставь пропущенное слово: "Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются ________."

Вопрос 12

Вставь пропущенное слово: "Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называются ________."

Вопрос 13

Вставь пропущенное слово в достаточное условие экстремума: "Пусть функция непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х0, тогда: если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х х производная в точке х больше нуля, то х=х — точка _______ функции."

Вопрос 14

Вставь пропущенное слово в достаточное условие экстремума: "Пусть функция непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х0, тогда: если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х х производная в точке х меньше нуля, то х=х — точка _______ функции."

Вопрос 15

Вставь пропущенное словосочетание в достаточное условие экстремума: "Пусть функция непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х0, тогда: если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х знаки производной одинаковы, то в точке х ____."

Вопрос 16

Расставьте в правильном порядке действия для исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы

Ссылка на основную публикацию
Драйвер для веб камеры на ноутбук acer
by Acer Inc. After you upgrade your computer to Windows 10, if your Acer Camera Drivers are not working, you...
Logitech deluxe 250 keyboard драйвер
Ниже показаны совместимые с ОС Windows 7 драйвера для Logitech Deluxe 250 USB Keyboard. Каждый драйвер клавиатуры Logitech Deluxe 250...
Medal of honor 2010 отзывы
Неплохой шутер на раз! Не знаю как вам, но мне было весело играть, особенно когда переиграл в КоД и Батлу....
Драйвер для микро сд карты
SD(miniSD,microSD) флеш-карточки формата SDHC (Secure Digital High Capacity), допускают объем от 2 до 32 гигабайт. Эти карточки имеют такой же...
Adblock detector