Как найти разность фаз колебаний

Как найти разность фаз колебаний

В этом случае результирующее колебание также является гармоническим. При этом амплитуда и фаза колебания определяются следующим образом:

амплитуда результирующего колебания

;

начальная фаза результирующего колебания

,

Траектория точки, участвующей в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях x = A1cos ωt; y = A2cos (ωt + φ), описывается уравнениями:

, если разность фаз φ = 0;

, если разность фаз φ = π;

, если разность фаз φ = .

Волновой процесс (волна) –это процесс распространения колебаний в пространстве.

Уравнение плоской (бегущей) синусоидальной волныимеет вид:

или ,

где S(x,t) мгновенное значение смещения любой точки среды от ее положения равновесия;

х – расстояние от источника волны до рассматриваемой точки;

υ – скорость распространения волны в среде;

k– волновое число, ; λ – длина волны;

– фаза колебания точки среды.

Разность фаз Δφ колебаний двух точек волны, находящихся друг от друга на расстоянии Δx, отсчитанном в направлении распространения волны, определяется как

,

где λ – длина волны.

Наложение когерентных волн.

Когерентными называются волны с постоянной во времени разностью фаз.

Когерентными являются гармонические волны с одинаковыми частотами (длинами волн).

При наложении когерентных волн в одних точках пространства они взаимно усиливают, а в других ослабляют друг друга. То есть происходит перераспределение энергии волн в пространстве. Это явление называется интерференцией волн.

Результат наложения волн зависит от разности их хода Δх, с которой они приходят в данную точку.

Условие усиления волн.

Если разность хода равна

, m = 0, 1, 2,

то в точку наложения волны приходят с одинаковыми фазами и усиливают друг друга. Величина m называется номером максимума.

Условие ослабления волн.

Если разность хода равна

, m = 0, 1, 2,

то в точку наложения волны приходят с противоположными фазами и ослабляют друг друга. Величина m называется номером минимума.

Примеры решения задач

Пример 15. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом T = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы E = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей на частицу.

Решение

Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением для полной энергии частицы

Отсюда для амплитуды получим

A = .

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F =k x, где k – коэффициент квазиупругой силы; x – смещение колеблющейся точки. Сила будет максимальной при максимальном смещении xmax, равном амплитуде:

Коэффициент k выразим через период колебаний:

Подставив выражения для полной энергии и коэффициента k в формулу для амплитуды и произведя упрощения, получим

.

Проведем анализ размерности:

.

A = = 0,045 (м) = 45 мм;

Fmax = = 4,44·10 -3 (Н) = 4,44 мН.

Читайте также:  Приложение для виндовс теле2

Пример 16. Платформа совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости с частотой 2 Гц и амплитудой 1 см. На платформе лежит груз, коэффициент трения которого о платформу 0,2. Будет ли груз скользить по платформе? Ответ обосновать.

Решение

Для решения приведем рисунок 13.

Груз будет скользить в том случае, когда максимальная сила инерции m·amax, действующая на груз будет равна или больше силы трения Fтр. В рассматриваемом случае сила трения

где m – масса груза;

g – ускорение свободного падения.

Максимальное ускорение силы инерции amax равно максимальному ускорению колеблющейся платформы, которое определяется как

Произведение amax и массы груза дает максимальную силу инерции:

Приравняв (34) и (35) и выразив ν, получим формулу для частоты, при которой груз будет скользить по платформе

.

.

Согласно условию груз будет скользить при значении частоты, равном полученному значению или больше него. Так как заданное значение частоты меньше полученного, то груз не будет скользить по платформе.

Пример 17. В колебательном контуре происходят свободные колебания. Зная, что максимальный заряд конденсатора 10 -6 Кл, а максимальная сила тока 10 А, найти частоту колебаний этого контура.

При электрических колебаниях кинематическое уравнение колебания заряда записывается в виде

,

где ω – циклическая частота колебания;

φ – начальная фаза колебания.

Взяв производную по времени от заряда, получим уравнение колебания силы тока

. (36)

В уравнении (36) произведение максимального заряда и циклической частоты определяет максимальное (амплитудное) значение силы тока:

. (37)

При известных значениях qmax и Imax можно найти циклическую частоту. По условию задачи требуется найти ν. Поэтому используем формулу, которая связывает ω и ν:

Подставив (38) в (37) и выразив ν, получим расчетную формулу

.

.

Пример 18. Напряжение и сила тока в катушке изменяются по законам U(t) = 60sin(314t + 0,25πi(t) = 15·sin(314·t).

Определить разность фаз Δφ между током и напряжением, а также полное Z, активное R и реактивное Xp сопротивления катушки.

Решение

Известно, что фазой колебания называется величина, стоящая под знаком sin или cos. Поэтому искомая разность фаз Δφ определяется, как разность

Полное сопротивление определим с помощью законf Ома для цепи переменного тока

,

где Ua и Ia – амплитудные значения напряжения и силы тока.

Из заданных уравнений следует, что Ua = 60 В и Ia = 15 А. Следовательно, полное сопротивление

.

Для определения активного R и реактивного сопротивлений запишем формулы для полного сопротивления

(39)

и для сдвига фаз

, (40)

где L – индуктивность катушки.

Выразив ω·L из (40) и подставив в (39), получим формулу для активного сопротивления

Читайте также:  Текстовые редакторы для создания сайтов

.

Подставив в эту формулу найденные значения Z и Δφ рассчитаем R:

.

Теперь по формуле (39) можно найти Хр

.

Таким образом, получили, что при такой разности фаз R = Xp.

Пример 19. Синусоидальная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15м/с. Период колебания точек шнура 2,4 с, а амплитуда колебания 7 см. Определить длину волны, фазу и смещение точки, отстоящей на 45 м от источника колебаний, через 4 с.

Решение

Уравнение синусоидальной волны имеет вид:

, (41)

где ω – циклическая частота;

k – волновое число;

ω·t – k·x =Ф – фаза колебаний.

Выразим ω и k через заданные величины:

и .

Тогда формула фазы примет вид

. (42)

Определим длину волны λ :

λ = υ ·Т = 15 ·2,4 = 36 м

.

Теперь, подставив это значение фазы в формулу (41), определим искомое смещение:

Пример 20. Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой 300 Гц. Скорость распространения колебаний в среде равна 1,5 км/с. Определить, при какой наименьшей разности хода волн будет наблюдаться максимальное ослабление колебаний. Каков результат интерференции в точке, расположенной на расстоянии 20 м от первого источника и 30 м от второго?

Решение

Для решения задачи используем условие усиления

(43)

и ослабления когерентных волн при их наложении

, (44)

Найдем искомую разность хода.

Из (44) следует, что волны будут ослаблять друг друга, если в точку наложения они приходят с разностью хода Δх, равной нечетному числу полуволн. Минимальной разности хода соответствует m = 0.

. (45)

По известной формуле найдем длину волн:

По формуле (44) для ∆хmin получим

Найдем результат наложения волн в заданной точке, для которой разность хода равна х2х1 = 30 – 20 =10 м.

Из формул (43) и (44) видно, что результат наложения волн зависит от того, четному или нечетному числу λ/2 равна разность хода.

Поделив заданную разность хода на λ/2, получим

.

Число полуволн получилось четным. Это значит, что в заданной точке будет происходить усиление волн.

Список литературы

1. Трофимова, Т.И. Курс физики: Учебное пособие для втузов / Т.И. Трофимова – М.: Изд. «Академия», 2007.– 560с.

2. Детлаф А.А, Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа. 2001. – 718с.

3. Трофимова, Т.И. Курс физики. Задачи и решения. Учебное пособие для втузов/Т.И. Трофимова, А.В. Фирсов.– М.: Изд. «Академия», 2004.–592с.

4. Волькенштейн, B.C. Сборник задач по общему курсу физики.– М.: Изд. «Наука», 2003.– 328с.

5. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Высш. шк. 1981.– 430с.

Читайте также:  Как сделать полную версию вк на телефоне

6. Сена, Л.А. Единицы физических величин и их размерность. – М.: Наука, 1988.– 432 с.

Фаза колебаний — это аргумент периодически изменяющейся функции, описывающей колебательный или волновой процесс. Для гармонических колебаний:

где φ = ωt + φ — фаза колебания, А — амплитуда, ω — круговая частота, t — время, φ — началь­ная (фиксированная) фаза колебания; в момент времени t = 0φ = φ. Фаза выражается в радианах.

Фаза гармонического колебания при постоянной амплитуде определяет не только координату колеблющегося тела в любой момент времени, но и скорость и ускорение, которые тоже изменяются по гармоническому закону (скорость и ускорение гармонических колебаний — это первая и вторая производные по времени функции (см. рис. ниже), которые, как известно, снова дают синус и косинус). Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние ко­лебательной системы в любой момент времени.

Два колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут отличаться друг от друга фазами. Так как ω = 2π/Т, то

Отношение t/T показывает, какая часть периода прошла от момента начала колебаний. Любому значению времени, выра­женному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженной в радианах.

Сплошная кривая на рисунке — это зависимость координаты от времени и одновременно от фа­зы колебаний (верхние и нижние значения на оси абсцисс соответственно) для точки, совершающей гармонические колебания по закону:

Здесь начальная фаза равна нулю φ = 0. В начальный момент времени амплитуда максимальна. Это соответствует случаю колебаний тела, прикрепленного к пружине (или маятника), которое в начальный момент времени отвели от положения равновесия и отпустили. Описание колебаний, начинающихся из положения равновесия (например, при кратковременном толчке покоящегося шарика), удобнее вести с помощью функции синуса:

Как известно, cos φ = sin (φ + π/2), поэтому колебания, описываемые уравнениями x = xm cos ω t и x = xm sin ω t, отличаются друг от друга только фазами. Разность фаз, или сдвиг фаз, составляет π/2. Чтобы определить сдвиг фаз, нужно колеблющуюся величину выразить через одну и ту же три­гонометрическую функцию — косинус или синус. Пунктирная кривая на рисунке выше (это график уравнения x = xm sin ω t) сдвинута относительно сплошной на π/2.

Определить разность фаз колебаний двух точек, находящихся на расстояниях 2 и 4 метров от источника колебаний, если скорость их распространения 200 м/с, а период колебаний 0,02 секунды.

Формулы уравнений колебаний точек

,

Фазы колебаний этих точек

,

,

,

рад=π рад

Ответ: разность фаз колебаний точек равна π рад, данные точки колеблются в противоположных фазах

Ссылка на основную публикацию
Как изменить учетную запись в аутлуке
После установки учетной записи в программе Microsoft Outlook, иногда требуется дополнительная настройка отдельных параметров. Также, бывают случаи, когда поставщик почтовых...
Драйвер для веб камеры на ноутбук acer
by Acer Inc. After you upgrade your computer to Windows 10, if your Acer Camera Drivers are not working, you...
Драйвер для микро сд карты
SD(miniSD,microSD) флеш-карточки формата SDHC (Secure Digital High Capacity), допускают объем от 2 до 32 гигабайт. Эти карточки имеют такой же...
Как изменить ттл на компьютере
TTL (Time To Live) — это значение времени, на протяжении которого пакет с данными блуждает по сети со способностью передачи...
Adblock detector