Как решать уравнения с отрицательной степенью

Как решать уравнения с отрицательной степенью

Степень с отрицательным показателем

Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.

d -c = 1 ; 7 -5 = 1 ; a -5 = 1
d c 7 5 a 5

Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

a 5 = 1
a 8 a 3
a -3 = 1
a 3

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:

Показательное уравнение – это уравнение c переменной в показателе степени.

Как решать показательные уравнения

При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду (a^=a^), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть:

Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода:
число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым;
степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов , умножений, делений и т.д.

В этом показательном уравнении переход к (x+2= 8-x) невозможен, так как в основаниях разные числа

Здесь переход к (x+3x=2x) также невозможен, так как слева стоит сумма.

И в этом случае перейти к (5-x=7x) нельзя, ведь справа есть минус.

Мы знаем, что (27 = 3^3). С учетом этого преобразуем уравнение.

Теперь вспомним, что: (a^<-n>=frac<1>). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: (frac<1> =a^<-n>). Тогда (frac<1><3>=frac<1> <3^1>=3^<-1>).

Применив свойство ((a^b )^c=a^) к правой части, получим: ((3^ <-1>)^<2x>=3^<(-1)·2x>=3^<-2x>).

И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д. Значит, можем делать переход.

Читайте также:  Thermaltake tr2 1200w bronze

Решаем получившееся линейное уравнение и пишем ответ.

Воспользуемся свойством степени (a^b cdot a^c=a^) в обратном направлении.

(2^x cdot 2^3+2^x cdot 2^2-2^x cdot 2^1=160)

Теперь в левой части выносим за скобку общий множитель (2^x) …

…и вычисляем содержимое в скобке.

Делим на (10) обе части уравнения…

…и дорешиваем до ответа.

Иногда одних только свойств степеней оказывается недостаточно, и приходиться применять стандартные приемы для решения более сложных уравнений – замену переменной , расщепление уравнения и т.д.

Вновь пользуемся свойством степени (a^b cdot a^c=a^) в обратном направлении.

Теперь вспоминаем, что (4=2^2).

Смотрим внимательно на уравнение, и видим, что тут напрашивается замена (t=2^x).

Однако мы нашли значения (t), а нам нужны (x). Возвращаемся к иксам, делая обратную замену.

Преобразовываем второе уравнение, используя свойство отрицательной степени…

…и дорешиваем до ответа.

Остается вопрос — как понять, когда какой метод применять? Это приходит с опытом. А пока вы его не наработали, пользуйтесь общей рекомендацией для решения сложных задач – «не знаешь, что делать – делай, что можешь». То есть, ищите как вы можете преобразовать уравнение в принципе, и пробуйте это делать – вдруг чего и выйдет? Главное при этом делать только математически обоснованные преобразования.

Показательные уравнения, не имеющие решений

Разберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников:
— положительное число в степени равно нулю, например, (2^x=0);
— положительное число в степени равно отрицательному числу, например, (2^x=-4).

Давайте попробуем решить перебором. Если икс — положительное число, то с ростом икса вся степень (2^x) будет только расти:

И так далее. Очевидно, что дальше увеличивать икс нет смысла, будет только «хуже» (т.е. мы будем удаляться от нуля и минус четверки).
Может быть нам поможет (x=0)? Проверяем:

Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство (a^<-n>=frac<1>), проверяем:

Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу:

Положительное число в любой степени останется положительным числом.

Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений.

Показательные уравнения с разными основаниями

В практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: (a^=b^), где (a) и (b) – положительные числа.

Читайте также:  Сколько времени заряжать телефон первый раз

Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на (b^). Так делить можно, потому что положительное число в любой степени положительно (то есть, мы не делим на ноль). Получаем:

Дальше решаем с помощью свойств степени.

Здесь у нас не получиться ни пятерку превратить в тройку, ни наоборот (по крайней мере, без использования логарифмов ). А значит мы не можем прийти к виду (a^=a^). При этом показатели одинаковы.
Давайте поделим уравнение на правую часть, то есть на (3^) (мы можем это делать, так как знаем, что тройка ни в какой степени не будет нулем).

Казалось бы, лучше не стало. Но вспомните еще одно свойство степени: (a^0=1), иначе говоря: «любое число в нулевой степени равно (1)». Верно и обратное: «единица может быть представлена как любое число в нулевой степени». Используем это, делая основание справа таким же как слева.

Вуаля! Избавляемся от оснований.

Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос.

Уравнение выглядит совсем печально… Мало того, что основания нельзя свести к одинаковому числу (семерка ни в какой степени не будет равна (frac<1><3>)), так еще и показатели разные… Однако давайте в показателе левой степени вынесем за скобку двойку.

Аллилуйя! Показатели стали одинаковы!
Действуя по уже знакомой нам схеме, решаем до ответа.

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

Читайте также:  Концепция единого информационного пространства вс рф

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

Если в показателе степени стоит десятичная дробь, нужно перевести ее в обыкновенную:

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

13 комментариев

Спасибо! врубился) жаль, что в школе не учился(

Что ж, учиться никогда не поздно). Но всё же лучше вовремя.

Забавно, что за время работы встречал множество коллег, кому приходилось на внутренних курсах разжёвывать какие вещи начального уровня и все сокрушались: «Что же я в школе-то (институте) не учил это? Это же так просто, понятно, полезно и ИНТЕРЕСНО. »

А вся проблема в том, что ни в школе, ни в институте перед тем, как что-то начать рассказывать не проводят красочные, завлекательные, познавательные, весёлые и игровые презентации будущего курса, чтобы было понятно, а где же то, что будем скоро изучать, применяется в жизни? Каким профессиям и в каких житейских ситуациях это может быть полезно?

Учат каким-то абстрактным формулам вместо того, чтобы рассказать, что это пригодится на кухне, при разделе земли, при строительстве сарая на даче, при стрельбе из пушки, при запуске спутника и т. д.

При разбавлении спирта водой, в конце концов! :))

Ведь часто женщины встают в ступор от элементарной задачи:

В рецепте указано «1 ст. ложка 3 %-го уксуса», а у неё на кухне только 9 % или («О, БОЖЕ! Крах! Провал!») вообще уксусная эссенция! А по сути та же кислота, но в концентрации 70 %…

Ссылка на основную публикацию
Как изменить учетную запись в аутлуке
После установки учетной записи в программе Microsoft Outlook, иногда требуется дополнительная настройка отдельных параметров. Также, бывают случаи, когда поставщик почтовых...
Драйвер для веб камеры на ноутбук acer
by Acer Inc. After you upgrade your computer to Windows 10, if your Acer Camera Drivers are not working, you...
Драйвер для микро сд карты
SD(miniSD,microSD) флеш-карточки формата SDHC (Secure Digital High Capacity), допускают объем от 2 до 32 гигабайт. Эти карточки имеют такой же...
Как изменить ттл на компьютере
TTL (Time To Live) — это значение времени, на протяжении которого пакет с данными блуждает по сети со способностью передачи...
Adblock detector