Лемниската бернулли в декартовых координатах

Лемниската бернулли в декартовых координатах

Лемниската Бернулли — кривая, у которой произведение расстояний от каждой её точки до двух определенных точек (фокусов) неизменно и равняется квадрату половины расстояния между ними. Место пересечения лемнискаты с самой собой принято называть узловой или двойной точкой.

Форма лемнискаты похожа на восьмерку (символ бесконечности).

(х 2 + у 2 ) 2 = 2 а 2 (х 2 — у 2 ).

Полярное уравнение имеет вид:

Длина дуги лемнискаты между точками, для которых φ1= 0 и φ2= φ:

.

Площадь сектора ограниченного осью и радиус-вектором, соответствующим углу φ:

Площадь, локализованную лемнискатой:

вторник, 28 августа 2012 г.

Лемниската Бернулли — построение

В данной заметке будет рассмотрена Лемниската Бернулли, построение ее наиболее простого и понятного варианта, а так же некоторые интересные свойства данной кривой.

Начнем с определения. Лемниската Бернулли представляет собой плоскую алгебраическую кривую. Определяется она как геометрическое место точек на плоскости, произведение расстояний от этих точек до двух заданных фокусов, постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами кривой.

Лемниската Бернулли — плоская алгебраическая кривая и ее фокусы.

Наиболее просто построить лемнискату при помощи секущих. Проведем прямую и отметим на ней точку O. По обе стороны от данной точки построим два одинаковых отрезка равных c. Так мы получим два фокуса лемнискаты F1 и F2.

Построение Лемнискаты Бернулли: фокусы лемнискаты на прямой.

Затем, с центром в одном из фокусов, построим окружность радиуса . Далее, через точку O проводится произвольная секущая OPS, где P и S – точки пересечения с окружностью.

Произвольная секущяя, проходящая через точку O пересекает окружность в точках P и S.

После этого, от точки О в обе стороны прямой откладываются отрезки OM1 и OM2, равные хорде PS. Образовавшиеся точки M1 и M2 будут лежать на разных петлях лемнискаты.

Читайте также:  Гидрофобная пленка для телефона

Нахождение точек, преналдежащих лемнискате Бернулли, на произвольной секущей.

Построив еще несколько секущих, мы определим больше точек, которые будут принадлежать лемнискате Бернулли.

Большее количество секущих, позволяет определить больше точек на кривой.

Плавно соединив все точки, построенные на секущих, мы получим искомую кривую.

Соединение всех точек, позволяет построить лемнискату Бернулли.

Лемниската Бернулли (рис. 6)— плоская кривая, геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Так же можно сказать, что Лемниската Бернулли- это плоская кривая, имеющая вид «восьмерки»; множество точек М, произведение расстояний r1 и r2 которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния. Алгебраическая кривая 4-го порядка, рассмотренная Я. Бернулли (1964 г).

Уравнения:

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

в прямоугольной декартовой системе координат:

,

Фокусы лемнискаты — F1( − c;0) и F2(c;0). Возьмём произвольную точку M(x;y). Произведение расстояний от фокусов до точки M есть

,

и по определению оно равно c 2 :

Возводим в квадрат обе части равенства:

Раскрываем скобки в левой части:

Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:

Выносим общий множитель и переносим:

Далее можно сделать замену a 2 = 2c 2 , хотя это не обязательно:

В данном случае a — радиус окружности, описывающей лемнискату.

проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

Приводим к виду

Это квадратное уравнение относительно y 2 . Решив его, получим

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.

Читайте также:  Видеокарта для процессора amd fx 6300

в полярной системе координат:

Используя формулы перехода к полярной системе координат получим:

Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество sin 2 α + cos 2 α = 1:

Используем ещё одно тождество: cos 2 α − sin 2 α = cos2α:

Делим на ρ 2 , предполагая, что :

Как и в случае прямоугольной системы можно заменить a 2 = 2c 2 :

плотность точек кривой при равномерном изменении параметра

параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

, где

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от до . При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Свойства:

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a = c, синусоидальной спирали с индексом n = 2 и лемнискаты Бута при c = 0, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства от овала Кассини:

Лемниската — кривая четвёртого порядка;

Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами;

Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки;

Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Ссылка на основную публикацию
Консольные команды для бателфилд 4
Встречаем и вновь возвращаемся в самый: динамический, красивый, технически богатый и самый заселённый мир с постоянно ведущимися боевыми действиями. Самый...
Как сделать чтобы флешка работала быстрее
Читайте как настроить оптимальную производительность внешнего диска или флешки и ускорить передачу данных на внешний носитель информации и чтение из...
Как сделать ярлык почты на рабочем столе
Хотите быстро писать письма друзьям? Часто пишите Email по работе? Тогда можно просто создать ярлык Email на Вашем рабочем столе...
Конструкция степлера канцелярского схема
Первые степлеры появились во Франции в XVIII веке, их специально изобрели для короля Людовика XV. Но в то время это...
Adblock detector