Площадь трапеции по основаниям и углу

Площадь трапеции по основаниям и углу

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу. Высотой трапеции называют линию, перпендикулярную основаниями, для удобства ее часто проводят из тупого угла трапеции на большее основание. Средняя линия трапеции – это линия, которая параллельна основаниям, и разделяет боковые стороны ровно пополам. Среднюю линию трапеции можно найти средним арифметическим оснований – сложив их и разделив на два.

Площадь трапеции в самом простом виде – это произведение средней линии на высоту, или если раскрыть формулу средней линии, то произведение полусуммы оснований на высоту.

Доказательством этой формулы будет служить представление площади трапеции, как суммы площадей двух треугольников полученных при проведении диагонали.

Площади этих треугольников будут равны соответственно и (для того, чтобы нарисовать высоту во втором треугольнике, необходимо будет продлить основание b ). Площадь трапеции будет равна сумме полученных выражений, где мы вынесем высоту за скобку, и получим искомую формулу:

Вывести формулу, для того чтобы вычислить площадь трапеции через стороны, можно с помощью метода подстановки.

Проведя две высоты в трапеции, получаем по бокам прямоугольные треугольники с известными гипотенузами и неизвестными катетами x и y . Таким образом x+y=d-b , y=d-b-x .
Одинаковый катет у обоих треугольников – высота, которую мы ищем. Через теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках выражаем высоту и . Приравнивая, получаем a 2 -x 2 =c 2 -y 2 или x 2 -y 2 =a 2 -c 2 .
x 2 -(d-b-x) 2 =a 2 -c 2 — Подставляем вместо х полученное выше выражение d-b-y .
x 2 -d 2 +bd+dx-b 2 +bd-bx-x 2 +dx-bx=a 2 -c 2 — Раскрываем скобки.
x 2 -d 2 +2bd+2dx-b 2 -2bx-x 2 =a 2 -c 2 — Приводим подобные слагаемые.
2dx-2bx=a 2 -c 2 +d 2 +b 2 -2bd — Переносим все вправо, оставляя слева только y .
2x(d-b)=a 2 -c 2 +(d-b) 2 — Выносим общие множители.

Подставляем обратно y в формулу высоты .
Формула площади трапеции через стороны будет выглядеть так:

Читайте также:  Сброс пароля на ios

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними считается условным делением трапеции на четыре треугольника, точно также как и площадь любого произвольного четырехугольника.

Площадь равнобедренной трапеции можно найти еще одним способом, если даны угол при основании и радиус вписанной окружности. Дело в том, что центр вписанной окружности, откуда берет свое начало радиус, находится точно в центре трапеции, таким образом, приравнивая высоту и диаметр окружности (либо удвоенный радиус). Также одно из свойств трапеции, описанной вокруг окружности – это равенство суммы оснований и суммы боковых сторон, значит, мы сможем найти среднюю линию, зная боковые стороны. Проведя высоту, из прямоугольного треугольника получаем боковую сторону и среднюю линию
Тогда площадь трапеции равна

Онлайн калькулятор расчёта площади неравнобедренной трапеции

Решение

Теория

Трапеция — это четырёхугольник у которого две противоположные стороны параллельны и не равны между собой. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие стороны называются боковыми.

Бывают прямоугольная, равнобедренная и неравнобедренная трапеции.

Неравнобедренная трапеция — это трапеция у которой боковые стороны не равны.

Основания трапеции — это две параллельные противоположные стороны.

Высота трапеции — это отрезок соединяющий основания под прямым углом.

Формула площади трапеции

Чтобы посчитать площадь трапеции, необходимо знать её основания и высоту.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. Площадь трапеции S равна произведению полусуммы ее оснований (a, b) на высоту (h)

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований a и b на высоту h

Площадь трапеции через высоту и среднюю линию

Площадь трапеции через четыре стороны

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Если (d_<1>), (d_<2>) – диагонали трапеции, а ( angle alpha ) – угол между ними , то площадь трапеции можно вычислить по формуле

Читайте также:  Как перенести печать на лист

[ S = frac<1> <2>d_ <1>cdot d_ <2>cdot sin (alpha) ]

Площадь трапеции через основания и два угла

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
  • Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной)
  • Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
  • У равнобокой трапеции углы при основании равны.
  • У равнобокой трапеции диагонали равны.
  • Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
  • Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
  • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и продолжения боковых сторон находятся на одной прямой.

Источник информации

Основания равнобедренной (равнобокой) трапеции равны 8 и 20 сантиметров. Боковая сторона равна 10 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, которая имеет высоту 12 см.

Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Из вершины C на основание AD опустим высоту CN. Поскольку MBCN является прямоугольником, то

Треугольники, получившиеся в результате того, что мы опустили из меньшего основания равнобокой трапеции на большее две высоты — равны. Таким образом,

AD = BC + AM * 2
AM = (AD — BC) / 2
AM = ( 20 — 8 ) / 2 = 6 см

Таким образом, в треугольнике ABM, образованном высотой, опущенной из меньшего основания трапеции на большее нам известны катет и гипотенуза. Оставшийся катет, который одновременно является высотой трапеции, найдем по теореме Пифагора:

BM2 = AB2 — AM2
BM2 = 102 — 62
BM = 8 см

Поскольку высота трапеции ABCD равна 8 см, а высота подобной трапеции — 12 см, то коэффициент подобия будет равен

Читайте также:  Как вырезать силуэт в paint

Поскольку в подобных фигурах все геометрические размеры пропорциональны друг другу с коэффициентом подобия, найдем площадь подобной трапеции. Произведение полусуммы оснований подобной трапеции на высоту выразим через известные геометрические размеры исходной трапеции и коэффициент подобия:

Sпод = (AD * k + BC * k ) / 2 * ( BM * k )
Sпод = ( 20 * 1,5 + 8 * 1,5 ) / 2 * (8 * 1,5) = ( 30 + 12 ) / 2 * 12 = 252 см 2

Ссылка на основную публикацию
Нет msvcr120 dll что делать
Если, попытавшись включить любимую игру, вы натыкаетесь на окно, которое гласит, что запуск программы невозможен по причине отсутствия mscvr120.dll —...
Консольные команды для бателфилд 4
Встречаем и вновь возвращаемся в самый: динамический, красивый, технически богатый и самый заселённый мир с постоянно ведущимися боевыми действиями. Самый...
Конструкция степлера канцелярского схема
Первые степлеры появились во Франции в XVIII веке, их специально изобрели для короля Людовика XV. Но в то время это...
Нет беспроводного сетевого соединения windows 7
На панели задач в Windows или в меню «Центр управление сетями» нет иконки Wi-Fi? Это не значит, что вышло из...
Adblock detector