При каком значении m прямая параллельна плоскости

При каком значении m прямая параллельна плоскости

Точка C(—3, 4,1) найдена.

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1, —2, 1), M2(4, 2, 3) и параллельной вектору а = 5 i + 4j + 3k.

Решение. Имеем два вектора, параллельных искомой плоскости: вектор а и вектор M1M2 = (3, 4, 2). Рассмотрим их векторное произведение N = [а, M1M2]. Вектор N перпендикулярен векторам а и M1M2 (см. 4.3), а значит перпендикулярен и плоскости, т. е. может быть взят в качестве вектора нормали. Найдём N:

Зная вектор нормали и какую-нибудь точку на плоскости (возьмём, например, M1), записываем уравнение плоскости:

—4(x — 1) + (—1)(у + 2) + 8(z — 1) = 0.

После упрощений получим уравнение 4x + у — 8z + 6 = 0.

7. При каких значениях параметра а плоскости 4x + ау — 8z + 5 = 0, аx + у — 4z — 3 = 0 параллельны? Перпендикулярны?

Решение. Рассмотрим векторы нормалей: N1 = (4, α, —8), N2 = (α, 1, —4). Плоскости параллельны, если N1 и N2 коллинеарны:

Плоскости перпендикулярны, если N1 и N2 перпендикулярны:

Из уравнения 5α + 32 = 0 находим α = —6,4.

8. Найти расстояние от точки M(2, —5, —3) до плоскости, заданной уравнением 3у — 4z + 1 = 0.

Решение. Вычислим расстояние по формуле, выведенной в разделе 5.3:

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 — плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 — плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

Читайте также:  Значки для папок и ярлыков

= ; (3.3)

3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) — нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.

Пример 1.15. Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60 о .

Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

.

Решая квадратное уравнение 3m 2 + 8m — 3 = 0, находим его корни
m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y — 2z + 5 = 0.

Читайте также:  Впр функция excel расшифровка

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:

где m, n, р — координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 — координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y — 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n1(5,1,1) и n2(2,3,-2). Тогда

Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z — 1)/13.

Пример 1.18. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).

Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z — 3u + v = 0.

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

(2u+v)×1 + ( -u + v)×0 + (5u + 2v) ×1 -3u + v =0, или v = — u.

Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = — u в уравнение пучка:

u(2x-y +5z — 3) — u (x + y +2z +1) = 0.

Т.к. u≠0 ( иначе v=0, а это противоречит определению пучка ), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

(2u+ v) ×1 + (v — u) ×(-2) + (5u +2v) ×3 = 0, или v = — 19/5u.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

u(2x -y+5z — 3) — 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.

Версия системы:
7.83 (12.03.2020)
JS-v.1.35 | CSS-v.3.37

Общие новости:
06.01.2020, 22:45

Последний вопрос:
13.03.2020, 12:14
Всего: 151776

Читайте также:  Правила работы в excel

Последний ответ:
13.03.2020, 23:31
Всего: 259861

Последняя рассылка:
13.03.2020, 18:15

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Михаил Александров
Статус: Академик
Рейтинг: 1559
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 849
epimkin
Статус: Специалист
Рейтинг: 178
Перейти к консультации №:

пожалуйста решите еще несколько задачек
1-При каком значении m прямая (х+1)3=(у-z)m=(z+3)-2, параллельна плоскости x+3y+6z+7=0
2-Составить уравнение геометрического места точек, каждая из которых одинаково удалена от от точки А(1;-3) и точки В(-3;1)

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, Казаринов Александр Валерьевич!

1. Указанные в задании уравнения прямой не являются каноническими, поэтому для ответа на поставленный вопрос сначала необходимо их преобразовать. К сожалению, мне это не удалось. Если во втором уравнении вместо z стоит любое число (обозначим его k), то задача решается без проблем, а именно прямая и плоскость будут параллельны, если 1*3 + 3*m + 6*(-2) = 0, откуда m = 3. Но увы. Может быть, кто-либо из более сведущих в математике экспертов сможет ответить на этот вопрос. Попробуйте поместить его в рассылку снова.

2. Расстояние от точки M(x; y), принадлежащей искомому геометрическому месту, до точки A(1; -3) равно √((x — 1)^2 + (y + 3)^2), а до точки B(-3; 1) равно √((x + 3)^2 + (y -1)^2). Согласно условию задачи, эти расстояния равны, то есть
√((x — 1)^2 + (y + 3)^2) = √((x + 3)^2 + (y -1)^2)) (*).

Выполняя преобразования уравнения (*), получаем
(x — 1)^2 + (y + 3)^2 = (x + 3)^2 + (y — 1)^2,
x^2 — 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = x^2 + 6x + 9 + y^2 — 2y + 1,
6y + 10 = 6x + 10,
y = x,
x — y = 0 — уравнение прямой, являющейся биссектрисой первого и третьего координатных углов, а также серединным перпендикуляром к отрезку AB.

0

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Ссылка на основную публикацию
При каком альфа векторы компланарны
Единого обозначения компланарность не имеет. Свойства компланарности Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения: Если хотя бы один...
Нет msvcr120 dll что делать
Если, попытавшись включить любимую игру, вы натыкаетесь на окно, которое гласит, что запуск программы невозможен по причине отсутствия mscvr120.dll —...
Нет беспроводного сетевого соединения windows 7
На панели задач в Windows или в меню «Центр управление сетями» нет иконки Wi-Fi? Это не значит, что вышло из...
При каком значении m прямая параллельна плоскости
Точка C(—3, 4,1) найдена. 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1, —2, 1), M2(4, 2, 3) и параллельной вектору...
Adblock detector