Произведение четного и нечетного числа это число

Произведение четного и нечетного числа это число

Введение. Понятие чётности очень важно для развития математической культуры школьника. Теоретически это понятие простое и обычно не вызывает трудностей. Задачи же, связанные с чётностью, могут варьироваться от самых простых до очень сложных. Эти зада­чи позволяют на простом материале ввести школьника в разно­образный круг математических идей.

Вводная задача 1. Николай с сыном и Пётр с сыном пошли на рыбалку. Николай поймал столько же рыб, сколько его сын, а Пётр — столько же, сколько его сын. Все вместе поймали 27 рыб. Сколько рыб поймал Николай?

Решение. Сначала кажется, что в задаче не хватает данных: два неизвестных и од­но уравнение. Затем кто-то должен сообразить, что условия задачи проти­воречивы. Действительно, отцы поймали столько же рыб, сколько и сыновья. Но тогда общее число рыб должно быть чётным, а по условию оно нечётно.

Вариант рассуждения: Николай с сыном вместе поймали чётное число рыб. То же верно и для Петра с сыном. Значит, и сумма этих чисел чётна. (Если школьники сами не догадаются до одного из этих соображений, следует им немного подсказать).

Но никакого противоречия нет! К противоречию привело неявное пред­положение о том, что на рыбалке было четыре человека. Но их могло быть и три (Николай — сын или отец Петра). Из условия теперь следует, что все поймали рыб поровну, то есть по 9 штук. С этой задачей (но не с её решением) желательно ознакомить школьников за несколько дней до начала первого занятия. [1]

1. Определение четных и нечетных чисел

Первое занятие по теме «Четность-нечетность» можно начать с забавного вопроса: «Нуль — четное число или нечетное?» Ребята задумываются… Тогда приходится начать дискуссию: «Нуль делится на 2»? Через некоторое время дети отвечают: «Да». Тогда задаю еще раз тот же вопрос: «Так нуль — число четное или нечетное»? И тут уже всё понятно: «Четное»!

Понятие четности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечетные числа соответствовали ян, что означало небо, благоприятность, а четные – это инь, земля, изменчивость, неблагоприятность. В Европе и некоторых восточных странах считается, что четное количество даримых цветов приносит счастье. В России четное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. В случаях, когда в букете много цветов, четность или нечетность их количества уже не играет такой роли.

Далее идет обсуждение вводной задачи. Она позволяет начать разговор об определении и свойствах чётности. Прежде всего, мы использовали тот факт, что число вида п + п чётно (отцы поймали столько же рыб, сколько сыновья, поэтому вместе они поймали чётное число рыб).

Вот ещё одна задача, иллюстрирующая ту же идею.

Задача 2. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в ис­ходную точку. Все прыжки имеют одинаковую длину. Докажите, что он сделал чётное число прыжков.

Решение. Сколько раз он прыгнул вправо, столько же прыг­нул и влево (так как вернулся в исходную точку)… Откуда следует, что число вида п + п = 2п чётно? А это про­сто определение.

Определение. Целое число называется четным, если оно делится на 2 без остатка, и нечетным, если оно на 2 не делится.

Таким образом, «общий вид» чётного числа 2п, где п — произвольное целое число. Речь идёт именно о целых, а не только о натуральных (то есть целых положительных) числах. В частности, важно понимать, что 0 — тоже чётное число.

Каков же «общий вид» нечётного числа? 2n + 1. Действитель­но, если от нечётного числа отнять 1, то оно станет чётным, то есть нечётное число равно сумме чётного числа 2п и единицы. Часто используется запись нечётного числа и в виде 2п — 1.

2. Свойства четных и нечетных чисел

Свойство 1. Из определения чётного числа сразу следует, что произведе­ние любого (целого) числа на чётное число чётно. Доказательство: k • 2п = 2(kn).

Свойство 2. Несколько более сложно проверить, что произведение двух не­чётных чисел нечётно. Доказательство: (2k + l)(2n + 1) = 2(2kп + k + п) + 1.

Определение. Два целых числа называются числами одинаковой четности, если оба четные или оба нечетные. Два целых числа называют числами разной четности, если одно из них четное, а другое нечетное.

Читайте также:  Арифметические операции в excel

Свойство 3. Сумма двух чисел разной чётности нечётна.

Доказательство: 2k + 2п + 1 = 2(k + п) + 1 = 2m + 1, где m = k + п – целое число. Сумма нечетна.

Свойство 4. Сумма двух чисел одной чётности чётна.

Доказательство: 2k + 2п = 2(k + п) = 2m, где m = k + п — целое число. Таким образом, сумма — четное число.

2k + 1 + 2п + 1 = 2(k + п + 1) = 2m, где m = k + п + 1 — целое число. Таким образом, сумма — четное число.

Обратные утверждения. Затем можно предложить ребятам сформулировать и доказать утверждения, обратные утверждениям о четности суммы.

Если сумма двух чисел нечётна, то слагаемые имеют разную чётность. Доказательство. Действительно, если бы они имели оди­наковую чётность, то сумма была бы чётной.

Если сумма двух чисел чётна, то слагаемые имеют одинако­вую чётность. Доказательство аналогично.

Перейдем к следующему свойству четных и нечетных чисел.

Задача 3 (подготовительная). Сумма трех чисел нечётна. Сколько слагаемых нечётно? Ответ: одно или три.

Решение. Нетрудно привести примеры, показывающие, что оба случая возможны. Остальные два случая (нечётных слагае­мых два или их нет совсем) легко приводятся к противоречию. Теперь можно перейти к наиболее общей формулировке.

Свойство 5. Чётность суммы совпадает с чётностью количества не­чётных слагаемых.

Доказательство. 2а1 + 1 + 2а2 + 1 + … + 2ап + 1 = 2(а1 + а2 + … + ап) + п. Первое число — четное, потому что оно представляет собой произведение, одним из его сомножителей является число два, а второе число — четное по условию (n — четное число слагаемых). Сумма двух четных чисел — четная.

Аналогичные рассуждения приводятся для нечетного количества нечетных слагаемых. Учащиеся делают вывод: нечетность суммы совпадает с нечетностью количества нечетных слагаемых.

3. Задачи на применение свойств четности и нечетности [2]

Задача 4. Хозяйка купила общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровала все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Щенок Антошка выгрыз из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

Решение. На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна. Поэтому число 1990 у Антошки получиться не могло.

Задача 5. В школе 1688 учащихся, причем мальчиков на 373 больше, чем девочек. Доказать, что такого не может быть.

Решение. Если девочек х, то всего учеников 2х + 373, а это число нечетное как сумма четного и нечетного чисел.

Задача 6. Четно или нечетно число 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … + 993?

Решение. Разность 1 – 2 имеет ту же четность, что и сумма 1 + 2, разность 3 – 4 — ту же четность, что и сумма 3 + 4, и т.д. Поэтому данная сумма имеет ту же четность, что и сумма 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + 993. Из 993 слагаемых последней суммы 496 четных и 497 нечетных, следовательно, сумма нечетна.

Задача 7. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки плюс и минус, чтобы получилось выражение, равное нулю?

Решение: Нет, нельзя. Четность полученного выражения всегда будет совпадать с четностью суммы 1 + 2 + . + 10 = 55. Данная сумма всегда будет нечетной, а 0 — четное число.

Задача 8. Можно ли разменять 100 рублей при помощи 25 монет достоинством 1 и 5 рублей?

Решение. Нет, т.к. сумма нечетного количества нечетных слагаемых — нечетное число.

Задача 9. В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?

Решение. Обозначим число жителей на этажах соответственно через a1, a2, a3, a4, a5, a число жителей в подъездах соответственно через b1, b2, b3, b4. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами — по этажам и по подъездам:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = b1 + b2 + b3 + b4. Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части — четной. Следовательно, это невозможно.

Задача 10. Верно ли равенство 1 2 + 2 3 + 3 4 + … + 99 100 = 20002007?

Решение. Произведения четного и нечетного чисел четны, а сумма четных слагаемых всегда четна.

Задача 11. Четна или нечетна сумма всех натуральных чисел от 1 до 17?

Решение. Из 17 натуральных чисел 8 четных: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, а остальные 9 чисел нечетны. Сумма всех этих четных чисел четна, а сумма девяти нечетных — нечетна. Тогда сумма всех 17 чисел нечетна как сумма четного и нечетного чисел.

Читайте также:  Три бригады изготовили 248 деталей

Задача 12. Кузнечик прыгает по прямой: первый раз на 1 см, второй раз на 2 см и т.д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на прежнее место?

Решение. Чтобы вернуться на старое место, общее количество сантиметров должно быть четно, а сумма 1 + 2 + 3 + … + 25 нечетна. Поэтому вернуться на прежнее место кузнечик не сможет.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 13. Можно ли разменять 25 рублей десятью монетами достоинством 1, 3 и 5 руб.?

Решение. Если мы сложим четное число каких-либо целых чисел, то получим число четное, а 25 — нечетное число. Поэтому разменять 25 руб. таким образом нельзя.

Задача 14. В магазин «Все для собак и кошек» привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?

Решение. Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 чисел (цена одной игрушки), все они нечетные, значит, их сумма должна быть четна. Но 53 – число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя.

Задача 15. У Антона было 5 плиток шоколада. Может ли Антон, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?

Решение. Нет, т.к. если сложить 5 нечетных чисел, получим нечетный результат. А число 100 четно.

Задача 16. У Нины было 11 плиток шоколада фабрики "Краскон". Может ли Нина, поделив каждую плитку на 7, 13 или 21 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?

Решение. Нет, т.к. если сложить 11 нечетных чисел, получим нечетный результат, а 100 — четное число.

Задача 17. Доказать, что в равенстве 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 =20, «?» — это знаки плюс или минус, допущена ошибка.

Решение. В выражении нечетное количество нечетных чисел. Ответ должен быть нечетным числом.

4. Задачи на чередование [2]

Свойства чередования:

  1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).
  2. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов:
  • начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов;
  • начало и конец одного вида, то нечетное число.

Задача 18. Может ли вращаться система из 7 шестеренок, если первая сцеплена со второй, вторая с третьей и т.д., а седьмая сцеплена с первой?

Решение. Нет. Если первая вращается по часовой стрелке, то все нечетные шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а первая и седьмая одновременно вращаться по часовой стрелке не могут.

Задача 19. Может ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

Решение. Нет, не может. Так как конь должен сделать 63 хода, то последним (нечетным) ходом он встанет на поле другой четности, нежели a1; но h8 имеет тот же цвет.

Задача 20. Все костяшки домино выложили (соблюдая правила игры) в одну длинную цепь. На одном конце этой цепи оказалось 5 очков. Сколько очков может быть на другом конце цепи?

Решение. Если где-то лежит костяшка ∗ − 5, то рядом с ней лежит костяшка 5 − ∗ — возникает разбиение на пары. Сколько костяшек с пятеркой всего? Все ли они в этом разбиении на пары участвуют?

Задачи на разбиение на пары [2]

Свойство: если предметы можно разбить на пары, то их количество четно.

Задача 21. Можно ли нарисовать 9 — звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

Решение. Если бы такое было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся. Однако тогда число звеньев должно быть четным.

Задача 22. Семь тринадцатируков с планеты Тринадцатирук решили устроить турнир по армреслингу. Смогут ли они одновременно провести поединки для всех своих рук, чтобы все руки принимали участие, и в каждом поединке встречалось ровно две руки?

Решение. Тринадцатируки не смогут провести поединки для всех рук одновременно, так как в каждом поединке принимает участие две руки, а всего рук 13 · 7 = 91.

Задача 23. В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?

Читайте также:  Как переслать переписку в контакте

Решение. Так как на каждом дежурстве, в котором участвует данный человек, он дежурит с двумя другими, то всех остальных можно разбить на пары. Однако 99 – нечетное число.

1. Медников Л. Э. Четность. – 4-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2013.

2. Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров, издательство «АСА», 1994.

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Четно или нечетно?

Натуральное число, которое делится на 2, называется четным , а которое не делится на 2 – нечетным.

Всякое нечетное число равно сумме четного числа и единицы.

При решении задач используются следующие простые свойства сложения четных и нечетных чисел:

Сумма двух любых четных чисел – четное число;

Сумма двух любых нечетных чисел – четное число;

Сумма четного и нечетного чисел – нечетное число.

Ясно, что сумма любого количества четных чисел – четное число. Например, сумма

2 + 4 + 6 + 8 + … + 98 + 100 – четное число.

Рассмотрим сумму 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19. Все слагаемые в ней – нечетные числа, а всего слагаемых 10. Слагаемые можно объединить в пары: 1 + 3; 5 + 7 и т. д. каждая пара даст в сумме четное число, поэтому и вся сумма – четное число.

Рассмотрим теперь сумму 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21, в которую входит 11 слагаемых. Если объединять слагаемые в пары, то останется еще одно нечетное число. Поэтому вся сумма – нечетное число.

Сумма, содержащая нечетные слагаемые, является четным числом, если число слагаемых четно. В противном случае такая сумма – число нечетное.

Четным или нечетным числом является сумма:

А) 69 + 78 + 67 + 83 + 45 + 34 + 65 + 89

Б) 699 +378 + 667 + 843 + 485 + 364 + 615 + 970

Четным или нечетным числом является сумма:

А) всех натуральных чисел от 1 до 100;

Б) всех натуральных нечетных чисел от 1 до 90;

В) всех нечетных чисел от 1 до 49;

Г) всех двузначных чисел?

Четным или нечетным будет произведение:

А) простых чисел во втором десятке;

Б) простых однозначных чисел;

В) двух последовательных натуральных чисел;

Г) пяти последовательных нечетных чисел?

Что можно сказать о двух числах, если известно, что:

А) их сумма четна;

Б) их произведение четно;

В) их сумма и произведение четны;

Г) их сумма нечетна;

Д) их произведение нечетно;

Е) их сумма и произведение нечетны?

Какой знак («+» или «-») стоит в выражении:

А) 87 – 86 + 85 – 84 + … — 2 + 1 перед числом 35;

Б) 68 – 66 + 64 – 62 + … + 4 – 2 перед числом 38?

В последовательности чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Каких чисел больше среди первых 12 чисел этой последовательности – четных или нечетных? Четным или нечетным является число, стоящее в последовательности под номером: а) 15; б) 96; в) 1000?

Заполните пропуски так, чтобы получилось правильное утверждение:

А) разность двух нечетных чисел является … числом;

Б) разность четного и нечетного числа является … числом;

В) произведение двух четных чисел является … числом;

Г) если хотя бы один множитель в произведении является четным, то произведение — … число.

юЈФОЩНЙ ЙМЙ ОЕЮЈФОЩНЙ ВХДХФ УХННБ Й РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ:
Б) ДЧХИ ЮЈФОЩИ ЮЙУЕМ?
В) ДЧХИ ОЕЮЈФОЩИ ЮЙУЕМ?
Ч) ЮЈФОПЗП Й ОЕЮЈФОПЗП ЮЙУЕМ?

пФЧЕФ

Б) юЈФОЩНЙ; В) УХННБ ЮЈФОБ, РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ ОЕЮЈФОП; Ч) УХННБ ОЕЮЈФОБ, РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ ЮЈФОП.

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

ЛТХЦПЛ
нЕУФП РТПЧЕДЕОЙС нгонп
ЛМБУУ
лМБУУ 6
ЗПД
зПД 2004/2005
ЪБОСФЙЕ
оПНЕТ 3
ЪБДБЮБ
оПНЕТ 3.2
ЛТХЦПЛ
нЕУФП РТПЧЕДЕОЙС нгонп
ЛМБУУ
лМБУУ 5
ЗПД
зПД 2004/2005
ЪБОСФЙЕ
оПНЕТ 3
ЪБДБЮБ
оПНЕТ 3.4
ЛТХЦПЛ
нЕУФП РТПЧЕДЕОЙС нгонп
ЛМБУУ
лМБУУ 5
ЗПД
зПД 2004/2005
ЪБОСФЙЕ
оПНЕТ 3
ЪБДБЮБ
оПНЕТ 3.5
ЛТХЦПЛ
нЕУФП РТПЧЕДЕОЙС нгонп
ЛМБУУ
лМБУУ 5
ЗПД
зПД 2004/2005
ЪБОСФЙЕ
оПНЕТ 4
ЪБДБЮБ
оПНЕТ 4.4
ЛТХЦПЛ
нЕУФП РТПЧЕДЕОЙС нгонп
ЛМБУУ
лМБУУ 6
ЗПД
зПД 2004/2005
ЪБОСФЙЕ
оПНЕТ 3
ЪБДБЮБ
оПНЕТ 3.5

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Ссылка на основную публикацию
При каком альфа векторы компланарны
Единого обозначения компланарность не имеет. Свойства компланарности Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения: Если хотя бы один...
Нет msvcr120 dll что делать
Если, попытавшись включить любимую игру, вы натыкаетесь на окно, которое гласит, что запуск программы невозможен по причине отсутствия mscvr120.dll —...
Нет беспроводного сетевого соединения windows 7
На панели задач в Windows или в меню «Центр управление сетями» нет иконки Wi-Fi? Это не значит, что вышло из...
При каком значении m прямая параллельна плоскости
Точка C(—3, 4,1) найдена. 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1, —2, 1), M2(4, 2, 3) и параллельной вектору...
Adblock detector