Равные матрицы транспонированная матрица

Равные матрицы транспонированная матрица

Если в матрице строки и столбцы поменять местами, то получим транспонированную матрицу.

дважды транспонированная матрица равна исходной

(АВ) ‌ =В ‌ А ‌ , т.е. (АВ) ‌ ≠ А ‌ В ‌ ;

Если А ‌ =А, то матрица А ‌ — симметричная

Обратная матрица

Обратной матрицей по отношению к данной квадратной, называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу. Обозначим для матрица А обратную ей матрицу через А -1 .

Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы.

Квадратная матрица называется неособенной, если ее определитель не равен нулю, в противном случае матрица называется особенной или сингулярной. Обратная матрица имеет только у неособенной матрицы.

Пусть имеем матричное равенство

Умножим правую и левую часть равенства на обратную матрицу А -1

Поскольку известно, что А -1 А=Е, то

И поскольку известно, что ЕС=С, то

То есть, мы равенство АС=В преобразовали в равенство С= А -1 В, выразив матрицу С.

Если бы у нас были простые алгебраические числа а, bи с, то аналогичные преобразования были бы следующие:.

Сравнив преобразования для алгебраических чисел и матриц видим, что обращение матрицы соответствует действию деления. Поэтому понятна необходимость в обратной матрице, в ее вычислениях.

Алгоритм получения обратной матрицы

Вычисление det A;

Транспонирование матрицы ;

Составление союзной матрицы ;

Вычисление обратной матрицы

;

Существуют другие, более удобные способы вычисления обратной матрицы, например, методом Жордана – Гаусса, с которым познакомимся позднее.

Классический метод получения обратной матрицы

Пусть данная матрица:

.

Транспортируем ее .

Найдем для каждого элемента аjiтранспортированной матрицыА Т алгебраические дополненияАji.

Теперь составим для матрицы А так называемую присоединенную (или союзную) матрицу

.

Обратная матрица будет равна

.

Например: найти обратную матрицу для матрицы третьего порядка.

.

Основные свойства обратной матрицы

.

Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы.

Тема 2.1. Теория графов в электроэнергетике

Некоторые сведения об электрических системах

Следует иметь в виду, что предлагаемая дисциплина читается до изучения основных курсов по специальности 140204 (100100). Поэтому для того, чтобы приблизить излагаемый материал не только по содержанию, но и по форме к будущим специальным курсам, вспомним некоторые понятия, уже знакомые по курсу “Введение в специальность”.

Рис.1. Принципиальная схема энергосистемы

Энергетическая системаначинается с топлива и воды и кончается потребителем (рис.1).

Электрическая системаначинается с генератора и кончается потребителем, т.е. электрическая система – это электрическая часть энергетической системы, состоящая из совокупности элементов, вырабатывающих, преобразующих, передающих, распределяющих и потребляющих электроэнергию.

Электрическая сетьначинается с повышающего трансформатора и кончается потребителем.

Работа электрической системы прежде всего характеризуется значениями мощностей в МВт (и энергии в МВт.час), вырабатываемых, преобразуемых, передаваемых и потребляемых всеми ее элементами.

Режим системы– это ее состояние в любой момент времени, которое характеризуется совокупностью параметров.

Читайте также:  Максимальная скорость оптоволоконного кабеля

Параметры режима– это напряжение в различных точках системы, токи в ее элементах, углы расхождения векторов ЭДС и напряжений, активные и реактивные мощности генераторов, потоки активной и реактивной мощности в линиях и трансформаторах, потери мощности, энергии и напряжения в элементах системы и т.д.

При анализе различают два основных вида режимов электросистем:

установившийся режим (нормальный или послеаварийный) ;

переходный режим (нормальный или аварийный ).

Установившиеся режимы в электрической системе описываются законами Ома и Кирхгофа или вытекающими из них уравнениями узловых напряжений и контурных токов. Математический анализ установившихся режимов работы электрических систем сводится к составлению и решению систем линейных и нелинейных уравнений. Переходные процессы электрических систем описываются системами дифференциальных уравнений. Наиболее широко применяемые при анализе режимов электрических систем методы решения линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений будут изложены во втором разделе данного курса.

Электрической схемой системыназывается графическое изображение последовательности соединения ее элементов между собой. Элементы электрической системы обладают активными и реактивными (индуктивными или емкостными) сопротивлениями, активной и реактивной (индуктивной или емкостной) проводимостями. Если заменить в электрической схеме элементы системы их сопротивлениями и проводимостями, то получим схему замещения электрической системы. Расчеты и анализ режимов электрической системы производятся на основе ее схемы замещения. Каждый элемент системы имеет свою схему замещения. ЛЭП 110 — 220 кВ обычно представляются П -образной схемой замещения, а двухобмоточный трансформатор – Г-образной. на рис.1 и 2 приведены соответственно электрическая схема сети и ее схема замещения.

Рис.2. Электрическая схема сети

Рис.3. Схема замещения

Перед тем, как начать рассчитывать режим работы электрической системы (т.е. определять параметры режима) составляют схему замещения электрической системы (или сети) и вычисляют все параметры схемы замещения – сопротивления и проводимости. Электрическая схема сети и ее схема замещения, представленные на рис.1 и 2, очень малы, и рассчитать режимы для такой схемы можно “вручную”. Однако реальные электрические системы достигают больших размеров, их схемы замещения очень сложны и без использования современных ЭВМ выполнить анализ режимов электрических систем невозможно. Использование же ЭВМ для указанной цели основано на применении матричной алгебры и теории графов.

1. Если E – единичная матрица, то E=E T .

2. Двукратное транспонирование не изменяет матрицу (A T ) T = A.

3. Транспонирование суммы матриц равносильно сложению транспонированных матриц (A+B) T = A T +B T .

4. Транспонирование произведения матриц равносильно умножению транспонированных матриц: (AⅹB) T = A T ⅹB T .

5. Транспонирование обратной матрицы равносильно вычислению обратной к транспонированной матрице: (A -1 ) T = (A T ) -1 .

6. Если транспонированная матрица A T совпадает с данной матрицей A, то матрица A называется симметричной.

1.3. Обратная матрица

Матрица называется обратной к данной матрице A, если их произведение равно единичной матрице:

.

Вырожденной квадратной матрицей называется такая матрица, определитель которой равен нулю.

Матрица, определитель которой не равен 0, называется невырожденной.

Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. Для вычисления обратной матрицы к матрице А составим матрицу А* (присоединенную) из алгебраических дополнений матрицы А:

Читайте также:  Проверить процессор на совместимость с материнской платой

.

Матрицу транспонируем и каждый элемент разделим на определитель |A|. Нетрудно показать, что построенная таким образом матрица будет обратной к матрице А [6]:

.

F Пример 1.4. Дана матрица А. найти обратную матрицу при помощи MS Excel.

.

В нашем случае матрица А находится в ячейках B1:D3. Для нахождения обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A. Для этого выделим ячейки для хранения обратной матрицы, пусть в нашем случае это будут ячейки G1:E3. Теперь обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МОБР(), предназначенную для вычисления обратной матрицы (рис. 1.9), щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций.

В диалоговом окне, появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив (рис. 1.10). Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица – в нашем случае B1:D3. Данные в поле ввода Массив можно ввести, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.

Рис. 1.9. Мастер функций – шаг 1

Рис. 1.10. Мастер функций – шаг 2

Если поле Массив заполнено, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке, выделенного диапазона под обратную матрицу появится некое число. Чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2 для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае рабочая книга MS Excel примет вид, изображенный на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Пример вычисления обратной матрицы

Для того чтобы проверить, правильно ли найдена обратная матрица, необходимо умножить матрицу A на А обр и получить в результате единичную матрицу. В результате проведенных вычислений рабочий лист примет вид, изображенный на рис. 1.12.

Рис. 1.12. Проверка правильности решения.

1.4. Сложение матриц

Суммой матриц A = (aij) и B(bij) одной и той же размерности (mⅹn) называется матрица того же размера C = (cij), каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц A и B:

Матрицы разных размерностей складывать нельзя [6].

F Пример 1.5. Сложить матрицы А и В при помощи MS Excel.

.

Введем исходные данные на рабочий лист. Для сложения матриц А и B выделим диапазон E4:F5 и введем формулу =B1:C2+F1:G2(рис. 1.13). Вычитание матриц выполняется аналогично. Для получения результата в обоих случаях необходимо нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Рис. 1.13. Пример сложения матриц

Свойства сложения матриц:

Если О – нулевая матрица размера mⅹn, то A+O = A; A+(-A) = O.

Матрица С = А+(-В) называется разностью матриц А и В и записывается в виде С = А-В [7].

Мы видим, что квадратные матрицы порядка n можно складывать, вычитать и перемножать.

1.5. Вычисление определителей

Пусть A = (aij) (i, j = 1, …, n) – квадратная матрица порядка n. Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам. Простейший пример использования детерминанта – выяснение возможности обращения матрицы исходя из значения ее детерминанта. Если детерминант матрицы равен нулю, обратить ее невозможно.

Читайте также:  Айфон не включается на зарядке мигает яблоко

Операция вычисления детерминанта определена только для квадратных матриц. Определители являются основными числовыми характеристиками квадратных матриц [7].

Определителем (детерминантом) матрицы A=(a11), состоящей из одного числа a11, называется само это число.

Определителем матрицы второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

.

Рассмотрим матрицу третьего порядка:

.

Определителем матрицы A третьего порядка называется число

.

Данная формула называется формулой разложения определителя
3-го порядка по элементам первой строки [6].

Для вычисления детерминанта матрицы в Excel используется функция массива МОПРЕД().

F Пример 1.6. Вычислить определители заданных матриц:

1.6.1. .

.

1.6.2. .

.

1.6.3. .

.

Решим примеры при помощи пакета MS Excel. Матрица А находится в ячейках B1:C2. Для нахождения определителя матрицы необходимо перейти в свободную ячейку и обратиться к Мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД(), предназначенную для вычисления определителя матрицы (рис. 1.14), щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций.

В диалоговом окне, появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив (рис. 1.15) Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица, в нашем случае B1:С2.

Если поле Массив заполнено, можно нажать кнопку OK. В ячейке, выделенной под определитель матрицы, появится решение для первого примера, что соответствует представленному решению примера 1.6.1 (рис. 1.16).

Рис. 1.15. Мастер функций – шаг 2

Рис. 1.16. Вычисления определителя для примера 1.6.1

Аналогично проводим вычисления для примеров 1.6.2 и 1.6.3 (рис. 1.17 и 1.18). Применяя пакет MS Excel, сделаем проверку уже решенным примерам.

Рис.1.17. Вычисления определителя для примера 1.6.2

Рис. 1.18. Вычисления определителя для примера 1.6.3

Определитель n-го порядка.

Определителем квадратной матрицы порядка n называется число:

.

ВАРИАНТЫ

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 11140 — | 8281 — или читать все.

Пусть (i=1,2. m; j=1,2. n). Транспонированной по отношению к A называется матрица (p=1,2. n; q=1,2. m), где bpq=aqp (p= 1,2,. n; q= 1,2. m).

Для обозначения транспонированную к A матрицу используют запись A T .

Для построения транспонированной матрицы достаточно взять в качестве столбцов − соответствующие строки исходной матрицы. Например:

Свойства транспонированных матриц

  1. (A T ) T =A.
  2. Если матрицы A и B одинакового размера, то (A+B) T =A T +B T .
  3. Если определено произведение AB (т.е. количество строк A равен количеству столбцов B ), то (AB) T =B T A T .
  4. (βA) T =βA T , где β — некоторое число.
  5. Если Aквадратная матрица, то определитель исходной и транспонированной матриц равны: det A T =det A.

Транспонирование матрицы онлайн

Для транспонирования и для других действий с матрицами пользуйтесь матричным онлайн калькулятором.

Ссылка на основную публикацию
При каком альфа векторы компланарны
Единого обозначения компланарность не имеет. Свойства компланарности Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения: Если хотя бы один...
Нет msvcr120 dll что делать
Если, попытавшись включить любимую игру, вы натыкаетесь на окно, которое гласит, что запуск программы невозможен по причине отсутствия mscvr120.dll —...
Нет беспроводного сетевого соединения windows 7
На панели задач в Windows или в меню «Центр управление сетями» нет иконки Wi-Fi? Это не значит, что вышло из...
При каком значении m прямая параллельна плоскости
Точка C(—3, 4,1) найдена. 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1, —2, 1), M2(4, 2, 3) и параллельной вектору...
Adblock detector