Тип кривой по уравнению

Тип кривой по уравнению

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ1=-2, λ2=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x1 2 -2y1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x1=1: x 1=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x 1.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x 2=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i 1, j 1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

7.1 Цель работы

Определить вид кривых, найти их основные характеристики и сделать рисунки.

7.2 Теоретическое введение

I Классификация кривых второго порядка

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК) можно представить в виде:

­ ­ ­

Одна и та же кривая в зависимости от расположения, относительно ДПСК будет, иметь разные уравнения. Оказывается, что для каждой кривой, определяемой уравнением (7.1), можно подобрать такую новую ДПСК ( повернутую), что ее уравнение примет вид:

т.е. уравнение не будет содержать произведение xy. В типовом расчете дается именно это уравнение (7.2), поэтому мы и будем его рассматривать. Вид кривой, определяемой уравнением (7.2), зависит от коэффициентов A, B, C, D, E поэтому проведем подробный анализ каждого из следующих случаев.

1. AB ≠ 0, т.е. A ≠ 0 и B ≠ 0 случай центральной кривой. Выделим полные квадраты: Таким образом (7.2) примет вид

Читайте также:  Как запустить ноутбук без аккумулятора

Положим α = –C / 2A, ­ ­ β = –D / 2B ­ ­ и ­ ­ тогда получим

Перейдем теперь к новой ДПСК – X′O′Y′, которая получается из исходной ДПСК ­ XOY параллельным переносом (соответствующие оси координат параллельны и сонаправлены). Начало ДПСК ­ X′O′Y′ поместим в т. O′(α, β ). Тогда точка M, имеющая относительно ДПСК ­ XOY координаты (Х,У) будет иметь относительно ДПСК ­ X′O′Y′ координаты x’ = xα и y’ = yβ, а уравнение (7.4) в ДПСК ­ X′O′Y′ запишется

(для удобства в дальнейшем вместо x’ и y’ будем писать x и y).

1.1 AB > 0 – эллиптический тип. a) A > 0, ­ ­ B > 0, ­ ­ H > 0. Положив перепишем (7.5) в виде

В этом уравнении, не нарушая общности, можно считать a 2 ≥ b 2 , в противном случае нужно просто ДПСК повернуть на 90°. Кривая, уравнение которой относительно некоторой ДПСК имеет вид называется эллипсом. Уравнение называется каноническим уравнением эллипса. b) A > 0, ­ ­ B > 0, ­ ­ H = 0. Положив a 2 = 1 / A, ­ ­ b 2 = 1 / B, получим . Этому уравнению удовлетворяют координаты единственной точки O’ (0,0). c) A > 0, ­ ­ B > 0, ­ ­ H 2 = – H / A, ­ ­ b 2 = – H / B, перепишем (7.5) в виде: . Полученному уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки, т.е. оно определяет пустое множество точек. Условно это пустое множество называют мнимым эллипсом. Таким образом мы полностью проанализировали ситуацию, когда AB > 0. Теперь перейдем к следующему случаю.

Кривая, уравнение которой относительно некоторой ДПСК имеет вид , называется гиперболой. Уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Замечание. Если A > 0, ­ ­ B 0, то (7.5) можно преобразовать к виду повернув затем ДПСК ­ ­ X′O′Y′ на 90°, мы получим уравнение вида , ­ ­ где x" = y’, ­ ­ y" = –x’. b) A > 0, ­ ­ B 2 = 1 / A, ­ ­ b 2 = –1 / B, получим: . Разложим левую часть на множители: . Теперь хорошо видно, что этому уравнению удовлетворяют координаты точек двух прямых, проходящих через начало координат O’ (0,0): и . Поэтому говорят, что уравнение определяет вырожденную гиперболу. Итак, мы полностью выяснили, какие кривые могут получаться при AB ≠ 0 и переходим к случаю, когда AB = 0.

2 AB = 0 – параболический тип. 2.1 A = 0 (B ≠ 0), ­ ­ C ≠ 0. В этом случае (7.2) имеет вид: By 2 + Cx + Dy + E = 0. Выделив полный квадрат, преобразуем это уравнение: . Положим, далее, , , , тогда уравнение перепишется в виде: (yβ ) 2 = 2p(xα). Перейдя теперь, как и в случае 1 к новой ДПСК ­ ­ X ′O′Y′ получим: (y’ ) 2 = 2px’. Опустим для удобства штрихи:

Читайте также:  Мифы о ртути из разбитого градусника

Кривая, уравнение которой относительно некоторой ДПСК имеет вид y 2 = 2px, называется параболой. Уравнение y 2 = 2px называется каноническим уравнением параболы. Замечание. В уравнении (7.8), не нарушая общности, можно считать p > 0, в противном случае нужно повернуть ДПСК на 180°. Замечание. Случай B = 0, ­ D ≠ 0, очевидно, сводится к предыдущему, если повернуть ДПСК на 90°. Наконец, чтобы полностью завершить анализ уравнения (7.2) нам осталось рассмотреть последние три случая.

2.2 A = 0 (B ≠ 0), ­ ­ C = 0. В этом случае уравнение (7.2) имеет вид By 2 + Dy + E = 0. Выделив полный квадрат, преобразуем его к виду: . Положим , ­ ­ , получим, (yβ) 2 = H, перейдя к ДПСК ­ ­ и опуская в уравнении штрихи, получим:

a) H > 0 Обозначим a 2 = H тогда (7.9) примет вид:

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек, лежащих на параллельных прямых y = a ­ и ­ y = –a(вырожденная парабола). b) H 2 = –H, перепишем (7.9) в виде: y 2 = –a 2 . Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки, т.е. оно определяет пустое множество, которое условно называют парой мнимых параллельных прямых. c) H = 0 То есть (7.9) имеет вид

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек оси абсцисс. Так как уравнение (7.11) есть “предельный” случай (7.10) (a 2 → 0), то говорят, что уравнению y 2 = 0 соответствует пара совпадающих параллельных прямых. Замечание. Случай B = 0 и D = 0 сводится к предыдущему поворотом осей на 90°. Таким образом, подобрав новую ДПСК, уравнение Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 можно привести к одному из следующих 9 видов (см. таблицу).

Классификация алгебраических кривых второго порядка

Эллиптический тип кривой (AB> 0)

(a>b> 0)

Гиперболический тип кривой (AB 2 = 2px(p> 0)

Пара параллельных прямых (вырожденная парабола)

Пара мнимых паралельных прямых

Пара совпадающих параллельных прямых

Уравнения 1-5 относятся к случаю центральной кривой, так как каждое из них описывает либо пустое множество, либо множество, имеющее единственный центр

Наш анализ показывает, что из всех алгебраических кривых второго порядка интерес представляют только эллипс, гипербола и парабола (прямые мы рассматривали ранее). Эти кривые действительно обладают рядом замечательных свойств, которые используются в технике. Отметим важнейшие из них.

(a>b> 0)

1. Эллипс имеет центр симметрии – начало координат O(0,0). 2. Эллипс имеет две оси симметрии – оси координат. 3. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются вершинамиA1(–a,c), ­ A2(a,0), ­ B1(0,–b), ­ B2(0,b) (4 вершины). 4. Отрезок A1A2 называется большой осью эллипса, длина этой оси равна 2a; аналогично, отрезок B1 B2называется малой осью эллипса, длина малой оси 2b (2b 2c). 6. Эксцентриситетом эллипса называется число ε = c/a. Заметим, что эксцентриситет эллипса ε

(a> 0,b> 0)

1. Гипербола имеет центр симметрии – начало координат т.O(0,0). 2. Гипербола имеет две оси симметрии – оси координат. 3. Точки пересечения с осями симметрии называются вершинами гиперболы. В отличие от эллипса гипербола имеет 2 вершины: A1(–a, 0) и A2(a, 0) – т.е. гипербола пересекает только одну ось симметрии. 4. Отрезок A1A2 называется действительной осью гиперболы, длина действительной оси равна 2a. Точки B1(0, –b) и B2(0, b) лежат на оси симметрии, которую гипербола не пересекает. Отрезок B1B2 называется мнимой осью гиперболы, длина мнимой оси равна 2b . Все сказанное далее в предыдущем разделе II п.4 для эллипса, касающееся полуосей и терминологии, относится и к гиперболе. 5. Точки, лежащие на продолжении действительной оси гиперболы F1(–C, 0) и F2(C, 0), где , называются фокусами гиперболы. Фокальное свойство гиперболы: для любой точки M, лежащей на гиперболе ||F1M| – |F2M|| = 2a, т.е. гипербола является множеством точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек плоскости, фокусов, есть величина постоянная, равная 2a > 0. 6. Эксцентриситетом гиперболы называется число ε = C/a. Заметим, что эксцентриситет гиперболы ε > 1. 7. Прямые z1: x = – a/ε ­ и ­ z2: x = a/ε перпендикулярные действительной оси гиперболы, называютсядиректрисами. Директориальное свойство гиперболы дословно формулируется так же, как и для эллипса, только ε

Читайте также:  Worm win32 neksminer a

1. Парабола в отличие от эллипса и гиперболы, не имеет центра симметрии, т.е. не относится к центральным кривым. 2. Парабола имеет одну ось симметрии – ось абсцисс. 3. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной – т. О(0,0), т.е. парабола имеет одну вершину. 4. Число p > 0 называется параметром параболы. 5. Точка , лежащая на оси симметрии параболы и отстоящая от ее вершины на p/2, называется фокусом параболы. 6. Прямая , перпендикулярная оси параболы и отстоящая от ее вершины на p/2, называетсядиректрисой параболы. Заметим, что фокус лежит “внутри” параболы, а директриса “вне” ее, т.е. фокус и директриса лежат по разные стороны от параболы, как и в случае эллипса и гиперболы. Директориальное свойство параболы: для любой точки M, лежащей на параболе, |FM| = ρ(M,L), т.е. |FM| /ρM(L) = 1 и можно считать, что эксцентриситет параболы ε = 1. Таким образом, парабола занимает промежуточное положение между эллипсом, у которого ε 1. Замечание. Директориальное свойство является определяющим для параболы так же , как и для эллипса, и для гиперболы. 7. Оптическое свойство параболы: луч, идущий из фокуса, отразившись от параболы, идет параллельно оси параболы, т.е. параболическое зеркало дает параллельный пучок света, если источник поместить в фокус параболы. На рис. 7.3 изображена парабола с ее замечательными точками и прямыми.

Рис. 7.3 Парабола

Замечание. Форма параболы хорошо известна из школьного курса, так как парабола является графиком квадратного трехчлена.

Ссылка на основную публикацию
Сканер ricoh sp 220snw
Компания Ricoh — далеко не новичок на рынке печатающих устройств. Это глобальная корпорация со штаб-квартирой в Токио и представительствами во...
При каком альфа векторы компланарны
Единого обозначения компланарность не имеет. Свойства компланарности Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения: Если хотя бы один...
При каком значении m прямая параллельна плоскости
Точка C(—3, 4,1) найдена. 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1, —2, 1), M2(4, 2, 3) и параллельной вектору...
Сколько дают на ютубе за 1000 просмотров
Многих пользователей YouTube, а также начинающих видеоблогеров справедливо интересует вопрос: «А сколько YouTube платит за тысячу или миллион просмотров?» Если...
Adblock detector