В каких точках функция не дифференцируема

В каких точках функция не дифференцируема

Дифференцируемость функции в точке

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b), x-некоторая фиксированное значение аргумента из указанного интервала, x-любое приращение аргумента.

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в данной точке x, если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде y=Ax + x, где А — некоторое число, не зависящее от x, а — функция аргументаx, является бесконечно малой при x0.

Теорема. Для того чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: 1) Необходимость: пусть функция y=f(x) дифференцируема в данной точке x, то есть ее приращение y в этой точке представимо в виде y=Ax + x. Предположив, что x#0 поделим это равенство на x. Получим =A+. Из этого равенства вытекает существование производной, т.е.lim(x0)=A

2) Достаточность: пусть функция y=f(x) имеет в данной точке x конечную производную, т.е. существует предельное значение lim(x0) =f ’(x)

В силу определения предельного значения функция =-f’’(x) аргумента x является бесконечно малой при x0, т.е. y= f’’(x) x +x, где lim(x0)=0. Это представление совпадает с представлениемy=Ax + x, если обозначать через А не зависящее от x число f’’(x). Т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x.

Теорема. Если каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема в данной точке x, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке:

[ u(x) ]’ = u’(x)v’(x),

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала.

Теорема Ферма. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке c и имеет в этой точке локальный экстремум, то f ’(c)=0.

Читайте также:  Настроить звуковую карту на ноутбуке

Опр. локального max(min): Говорят, что функция y=f(x) имеет в точке c локальный max(min), если найдется такая окрестность точки с, в пределах которой значение f(с) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этих функций.

вторник, 3 декабря 2013 г.

Дифференцируемость функции в точке. Дифференцируемость и непрерывность (с доказательством).

Теорема
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.

Доказательство

Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке , т.е. . Разделив обе части данного равенства на , получим: .

Из определения производной функции в точке: .

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке и .

Достаточность. Пусть существует конечная производная . Покажем дифференцируемость функции. .

Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке.

Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Справедливость утверждения следует из и , а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.

Обратное утверждение не верно.

Например, функция непрерывна в точке , но не дифференцируема в этой точке.

Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.

В точке x=0 функция непрерывна, но не дифференцируема. Но при этом существуют левая и правая производные (−1 и 1 соответственно) :

2) f(x) = x·sin(1/x) при x≠0; f(0) = 0.

В точке x=0 функция непрерывна, но не дифференцируема (нет ни левой, ни правой производных) — график «бьётся» между прямыми y=x и y=−x:

3) а вот более заковыристый пример: функция Вейерштрасса. Она непрерывна в любой точке, но не дифференцируема ни в одной точке.

Этот график имеет фрактальный характер: зум (в красном круге) подобен всему графику.

Ссылка на основную публикацию
Logitech deluxe 250 keyboard драйвер
Ниже показаны совместимые с ОС Windows 7 драйвера для Logitech Deluxe 250 USB Keyboard. Каждый драйвер клавиатуры Logitech Deluxe 250...
Adblock detector